Algèbre linéaire Exemples

$x + 2 y - 4 z = 4$ , $- 3 x - 6 y + 12 z = - 12$

Étape 1

Écrivez le système d’équations sous forme de matrice.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 4 & 4 \\ - 3 & - 6 & 12 & - 12 \end{array}]$

Étape 2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 4 & 4 \\ - 3 + 3 \cdot 1 & - 6 + 3 \cdot 2 & 12 + 3 \cdot - 4 & - 12 + 3 \cdot 4 \end{array}]$

Étape 2.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 4 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3

Utilisez la matrice de résultat pour déclarer les solutions finales au système d’équations.

$x + 2 y - 4 z = 4$

Étape 4

Résolvez l’équation pour $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$2 y - 4 z = 4 - x$

Étape 4.1.2

Ajoutez $4 z$ aux deux côtés de l’équation.

$2 y = 4 - x + 4 z$

Étape 4.2

Divisez chaque terme dans $2 y = 4 - x + 4 z$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Divisez chaque terme dans $2 y = 4 - x + 4 z$ par $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{4}{2} + \frac{- x}{2} + \frac{4 z}{2}$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y}{2} = \frac{4}{2} + \frac{- x}{2} + \frac{4 z}{2}$

Étape 4.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{4}{2} + \frac{- x}{2} + \frac{4 z}{2}$

Étape 4.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.1.1

Divisez $4$ par $2$ .

$y = 2 + \frac{- x}{2} + \frac{4 z}{2}$

Étape 4.2.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = 2 - \frac{x}{2} + \frac{4 z}{2}$

Étape 4.2.3.1.3

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.1.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4 z$ .

$y = 2 - \frac{x}{2} + \frac{2 (2 z)}{2}$

Étape 4.2.3.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.1.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$y = 2 - \frac{x}{2} + \frac{2 (2 z)}{2 (1)}$

Étape 4.2.3.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = 2 - \frac{x}{2} + \frac{2 (2 z)}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = 2 - \frac{x}{2} + \frac{2 z}{1}$

Étape 4.2.3.1.3.2.4

Divisez $2 z$ par $1$ .

$y = 2 - \frac{x}{2} + 2 z$

Étape 5

La solution est l’ensemble des paires ordonnées qui rend le système vrai.

$(x, 2 - \frac{x}{2} + 2 z, z)$

Étape 6

Décomposez un vecteur solution en réorganisant chaque équation représentée dans la matrice augmentée en ligne réduite en résolvant pour la variable dépendante sur chaque ligne pour obtenir l’égalité vectorielle.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} x \\ 2 - \frac{x}{2} + 2 z \\ z \end{array}]$